Giải bài tập Bài 9: Tính chất ba đường phân giác của tam giác (C8 Toán 7 Chân trời)
===============
Giải bài 1 trang 81 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2 – CTST
Trong Hình 8, I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.
a) Cho biết IM = 6 (Hình 8a). Tính IK và IN.
b) Cho biết IN = x + 3, IM = 2x – 3 (Hình 8b). Tìm x
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 1
Phương pháp giải
– Ta sử dụng định lí giao của 3 đường phân giác trong tam giác cách đều 3 cạnh
– Sử dụng định lí giao của 3 đường phân giác trong tam giác cách đều 3 cạnh
Lời giải chi tiết
a) Theo đề bài ta có AI, BI, CI là các phân giác của tam giác ABC
Mà I là giao của 3 tia phân giác trong tam giác ABC
\( \Rightarrow \)IK = IN = IM = 6cm (định lí giao 3 đường phân giác)
b) Vì I là giao của 3 phân giác trong tam giác ABC
\( \Rightarrow \) IK = IN = IM
\( \Rightarrow \) x + 3 = 2x – 3
\( \Rightarrow \) 3 + 3 = 2x – x
\( \Rightarrow \) x = 6
–>
— *****
Giải bài 2 trang 82 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2 – CTST
Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc C.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 2
Phương pháp giải
– Ta chứng minh I là giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC
– Từ đó ta chứng minh CI là phân giác góc C
Lời giải chi tiết
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có :
AM chung
BM = CM ( M là trung điểm BC )
AB = AC (tam giác ABC cân tại A theo giả thiết)
\( \Rightarrow \Delta AMB = \Delta AMC (c-c-c)\)
\( \Rightarrow \widehat{BAM}= \widehat{CAM}\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow \) AM thuộc tia phân giác của góc A
Mà AM cắt tia phân giác góc B tại I
\( \Rightarrow \) I là giao của các đường phân giác trong tam giác ABC
\( \Rightarrow \) CI là phân giác góc C (định lí 3 đường phân giác cắt nhau tại 1 điểm)
–>
— *****
Giải bài 3 trang 82 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2 – CTST
Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BC
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 3
Phương pháp giải
Chứng minh BH = CH thông qua 2 tam giác bằng nhau
Lời giải chi tiết
Vì M là giao điểm của 2 phân giác góc B, C nên M là điểm giao của 3 phân giác trong tam giác ABC
\( \Rightarrow \) AM cũng là phân giác của góc A (định lí về 3 phân giác cùng đi qua 1 điểm)
\( \Rightarrow \widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)(tính chất tia phân giác của 1 góc)
Xét tam giác ABH và tam giác ACH có :
AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )
\(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}\)(chứng minh trên)
AH cạnh chung
\( \Rightarrow \DeltaABH=\Delta ACH\) (c.g.c)
\( \Rightarrow \) HB = HC (cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \)H là trung điểm của BC
–>
— *****
Giải bài 4 trang 82 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2 – CTST
Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thằng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 4
Phương pháp giải
– Ta thấy MN = MI + NI
– Nên ta sẽ chứng minh MI = ME, NI = NF qua các tam giác cân
Lời giải chi tiết
Theo đề bài ta có MN song song với EF
\( \Rightarrow \) \(\widehat {FEI} = \widehat {EIM}\)(2 góc so le trong) và \(\widehat {EFI} = \widehat {FIN}\)(2 góc so le trong)
Xét có \(\widehat {FEI} = \widehat {EIM} = \widehat {IEM}\)(EI là phân giác góc E)cân tại M (2 góc đáy bằng nhau)
\( \Rightarrow \) EM = IM (2 cạnh bên tam giác cân) (1)
Xét có : \(\widehat {EFI} = \widehat {IFN} = \widehat {NIF}\)(FI là phân giác góc F) cân tại N (2 góc đáy bằng nhau)
\( \Rightarrow \)FN = IN (2 cạnh bên tam giác cân) (2)
Ta thấy MN = MI + NI (3)
Từ (1); (2) và (3) \( \Rightarrow \) ME + NF = MN
–>
— *****
Giải bài 5 trang 82 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2 – CTST
Cho tam giác AMN vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 5
Phương pháp giải
– Ta chứng minh AT = RT bằng cách chứng minh tam giác ATR cân tại T
– Để chứng minh tam giác ART cân tại T ta sử dụng tính chất 2 góc đáy trong tam giác bằng nhau
Lời giải chi tiết
Theo đề bài ta có tia phân giác của góc M, N cắt nhau tại I
\( \Rightarrow \) I là điểm giao của 3 phân giác trong tam giác AMN
\( \Rightarrow \) AI là phân giác của góc A
\( \Rightarrow \) \(\widehat {IAN} = \widehat {IAM} = {45^o}\)(góc A vuông)
Xét tam giác ATR có \(\widehat {IAN} = {45^o}\) và \(\widehat {ATR} = {90^o}\) theo định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác
\( \Rightarrow \widehat {IAN} + \widehat {ATR} + \widehat {TRA} = {180^o} \Rightarrow \widehat {TRA} = {180^o} – {90^o} – {45^o} = {45^o}\)
\( \Rightarrow \Delta ATR \) vuông cân tại T ( tam giác có 2 góc ở đáy = 45 độ )
\( \Rightarrow AT = TR\)
–>
— *****
Giải bài 6 trang 82 SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2 – CTST
Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi xa lộ (Hình 9). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho địa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó. Hãy xác định vị trí của sân bay thỏa mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài 6
Phương pháp giải
Ta sử dụng tính chất giao điểm của 3 phân giác trong tam giác cách đều 3 cạnh
Lời giải chi tiết
Theo đề bài ta có 3 thành phố tạo thành 1 hình tam giác và các cạnh của tam giác đó là các xa lộ
Người ta muốn xây sân bay cách đều 3 xa lộ nên điểm đó sẽ cách đều 3 cạnh của tam giác
\( \Rightarrow \) Điểm đó là giao điểm của 3 phân giác trong tam giác ABC
Để xác định được điểm đặt saan bay ta phải vẽ các tia phân giác từ các đỉnh của tam giác ABC chúng cắt nhau ở đâu thì đó chính là điểm cần xây sân bay thỏa mãn yêu cầu
–>
— *****
